正弦定理五种证明方法的推导过程
在△ABC中a:SinA=b:SinB=c:SinC=2R(R为△ABC外接圆半径)变形公式a:b:c=SinA:SinB:SinC,推导过程a=2RSinA,b=2RSinB,c=2RSinC代入即可。或用比例性质得a=bSinA/SinB
步骤1:在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。
CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。
CH=b·sinA
因为a·sinB=b·sinA
得到:a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2:证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O。
作直径BD交⊙O于D。
连接DA。
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等,所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。
正弦定理的几个变形
变形公式:△ABC中,若角A,B,C所对的边为a,b,c,三角形外接圆半径为R,使用正弦定理进行变形,有:
1、a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(齐次式化简)
2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA
3、a:b:b=sinA:sinB:sinC
正弦定理证明原理
正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理,它指出“在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”,即a/sinA = b/sinB=c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径,D为直径)。
求正弦定理的推导过程
步骤1:在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。
CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。
CH=b·sinA
因为a·sinB=b·sinA
得到:a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2:证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O。
作直径BD交⊙O于D。
连接DA。
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等,所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。
正弦定理的几个变形
变形公式:△ABC中,若角A,B,C所对的边为a,b,c,三角形外接圆半径为R,使用正弦定理进行变形,有:
1、a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(齐次式化简)
2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA
3、a:b:b=sinA:sinB:sinC
三角函数正弦定理公式推导
在三角形中,各边与它所对的角的正弦的比相等;此结论叫做正弦定理
作三角形的外接圆O
连接AO交圆于D点,那么AD是圆的直径
弧AB对应圆周角为ACB和ADB
所以∠ACB=∠ADB
AB = c
Ad 为直径,所以ABD为直角,根据正弦的定义得
c / 2R = sin∠ADB
所以c/sinC = 2R
同理可以得到a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
求正弦定理的推导过程
步骤1:在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。
CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。
CH=b·sinA
因为a·sinB=b·sinA
得到:a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2:证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O。
作直径BD交⊙O于D。
连接DA。
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等,所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。
正弦定理的几个变形
变形公式:△ABC中,若角A,B,C所对的边为a,b,c,三角形外接圆半径为R,使用正弦定理进行变形,有:
1、a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(齐次式化简)
2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA
3、a:b:b=sinA:sinB:sinC
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